Пусть функция у=ƒ (х) определена в некоторой окрестности точки х о, кроме, быть может, самой точки х о.
Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.
Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне).
Число А называется пределом функции у=ƒ(х) в топке x 0 (или при х® х о), если для любой последовательности допустимых значений аргумента x n , n є N (x n ¹ x 0), сходящейся к х о последовательность соответствующих значений функции ƒ(х n), n є N, сходится к числу А
В этом случае пишут
или ƒ(х)->А при х→х о. Геометрический смысл предела функции:
означает,
что для всех точек х, достаточно близких к точке х о, соответствующие
значения функции как угодно мало отличаются от числа А.
Определение 2 (на «языке ε», или по Коши).
Число А называется пределом функции в точке х о (или при х→х о), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для все х¹ х о, удовлетворяющих неравенству |х-х о |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.
Геометрический смысл предела функции:
если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки х о, что для всех х¹ хо из етой δ-окрестность соответствующие значения функции ƒ(х) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у=ƒ(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ ε , у=А-ε (см. рис. 110). Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).
<< Пример 16.1
Доказать, что
Решение: Возьмем произвольное ε>0, найдем δ=δ(ε)>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х-3| < δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.
Взяв δ=ε/2, видим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.
<< Пример 16.2
16.2. Односторонние пределы
В определении предела функции считается, что х стремится к x 0 любым способом: оставаясь меньшим, чем x 0 (слева от х 0), большим, чем х о (справа от х о), или колеблясь около точки x 0 .
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х о существенно влияет на значение придела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.
Число А 1 называется пределом функции у=ƒ(х) слева в точке х о, если для любого число ε>0 существует число δ=δ(ε)> 0 такое, что при х є (х 0 -δ;x o), выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>х 0 -0 или коротко: ƒ(х о- 0)=А 1 (обозначение Дирихле) (см. рис. 111).
Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:
Коротко предел справа обозначают ƒ(х о +0)=А.
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем А=А 1 =А 2 .
Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела ƒ(х 0 -0) и ƒ(х 0 +0) и они равны, то существует предел и А=ƒ(х 0 -0).
Если же А 1 ¹ А 2 , то етот придел не существует.
16.3. Предел функции при х ® ∞
Пусть функция у=ƒ(х) определена в промежутке (-∞;∞). Число А называется пределом функции ƒ(х) при х→∞ , если для любого положительного числа ε существует такое число М=М()>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>М выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Коротко это определение можно записать так:
Геометрический смысл этого определения таков: для " ε>0 $ М>0, что при х є(-∞; -М) или х є(М; +∞) соответствующие значения функции ƒ(х) попадают в ε-окрестность точки А, т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ε и у=А-ε (см. рис. 112).
16.4. Бесконечно большая функция (б.б.ф.)
Функция у=ƒ(х) называется бесконечно большой при х→х 0 , если для любого числа М>0 существует число δ=δ(М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М.
Например, функция у=1/(х-2) есть б.б.ф. при х->2.
Если ƒ(х) стремится к бесконечности при х→х о и принимает лишь положительные значения, то пишут
если лишь отрицательные значения, то
Функция у=ƒ(х), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при х→∞, если для любого числа М>0 найдется такое число N=N(M)>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|>N, выполняется неравенство |ƒ(х)|>М. Коротко:
Например, у=2х есть б.б.ф. при х→∞.
Отметим, что если аргумент х, стремясь к бесконечности, принимает лишь натуральные значения, т. е. хєN, то соответствующая б.б.ф. становится бесконечно большой последовательностью. Например, последовательность v n =n 2 +1, n є N, является бесконечно большой последовательностью. Очевидно, всякая б.б.ф. в окрестности точки х о является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может и не быть б.б.ф. (Например, у=хsinх.)
Однако, если limƒ(х)=А при х→x 0 , где А - конечное число, то функция ƒ(х) ограничена в окрестности точки х о.
Действительно, из определения предела функции следует, что при х→ х 0 выполняется условие |ƒ(х)-А|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.
Определение пределов последовательности и функции, свойства пределов, первый и второй замечательные пределы, примеры.
Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству
Записывают это следующим образом: или x n → a.
Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству
a - ε < x n < a + ε которое означает, что точки x n , начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-ε , a+ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а .
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся , в противном случае - расходящейся .
Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n .
Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a . Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.
Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а , соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.
Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей ”.
Определение 2
. Постоянное число А называется предел
функции
f(x) при
x→a, если, задав произвольное, как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ
>0 (зависящее от ε), что для всех x
, лежащих в ε-окрестности числа а
, т.е. для x
, удовлетворяющих неравенству
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в
ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε
Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε - δ "
Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел , равный А, это записывается в виде
В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а , то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:
Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.
Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной .
Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.
Теорема 1 . Если существует каждый предел
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Замечание . Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.
Теорема 2.
т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, 
Теорема 3.
(6.11)
где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.
Используются на практике и следствия формулы (6.11):
(6.12)
(6.13)
(6.14)
в частности предел,
Eсли x → a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→a и при этом x
. Функция f(x) называется непрерывной
в точке
x 0 , если предел
(6.15)
Условие (6.15) можно переписать в виде:
то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.
Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R , кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.
Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o , если предел
и непрерывной слева в точке x o, если предел
Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.
Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o , например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.
1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок .
2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода .
Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.
Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.
Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.
Рассмотрим пример Я. И. Перельмана
, дающий интерпретацию числа e
в задаче о сложных процентах. Число e
есть предел 
. В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 ×1,5 = 150, а еще через полгода - в 150× 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 ×
(1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:
100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. ед.),
100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (ден. ед.),
100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (ден. ед.).
При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел
Пример 3.1 . Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.
Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство |x n -1| < ε
Возьмем любое ε > 0. Так как x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n<ε. Отсюда n>1/ε и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ε N = E(1/ε). Мы тем самым доказали, что предел .
Пример 3.2. Найти предел последовательности, заданной общим членом
.
Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n , разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n . Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:
Пример 3.3
. 
. Найти .
Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.
Пример 3.4
. Найти (
).
Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞. Преобразуем формулу общего члена:
Пример 3.5 . Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.
Решение.
Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел 
Выберем теперь в качестве x n
последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. 
Поэтому предел не существует.
Пример 3.6 . Доказать, что предел не существует.
Решение.
Пусть x 1 , x 2 ,..., x n ,... - последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞
Если x n =
p
n, то sin x n = sin (p
n) = 0 при всех n
и предел Если же
x n =2
p
n+
p
/2, то sin x n = sin(2
p
n+
p
/2) = sin
p
/2 = 1 для всех n
и следовательно предел . Таким образом, не существует.
Приводятся формулировки основных теорем и свойств предела функции. Даны определения конечных и бесконечных пределов в конечных точках и на бесконечности (двусторонних и односторонних) по Коши и Гейне. Рассмотрены арифметические свойства; теоремы, связанные с неравенствами; критерий сходимости Коши; предел сложной функции; свойства бесконечно малых, бесконечно больших и монотонных функций. Дано определение функции.
СодержаниеВторое определение по Коши
Предел функции (по Коши) при ее аргументе x , стремящемся к x 0 - это такое конечное число или бесконечно удаленная точка a , для которой выполняются следующие условия:1) существует такая проколотая окрестность точки x 0 , на которой функция f(x) определена;
2) для любой окрестности точки a , принадлежащей , существует такая проколотая окрестность точки x 0 , на которой значения функции принадлежат выбранной окрестности точки a :
при .
Здесь a
и x 0
также могут быть как конечными числами, так и бесконечно удаленными точками. С помощью логических символов существования и всеобщности это определение можно записать следующим образом:
.
Если в качестве множества взять левую или правую окрестность конечной точки, то получим определение предела по Коши слева или справа.
Теорема
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство
Применяемые окрестности точек
Тогда, фактически, определение по Коши означает следующее.
Для любых положительных чисел ,
существуют числа ,
так что для всех x, принадлежащих проколотой окрестности точки :
,
значения функции принадлежат окрестности точки a: ,
где ,
.
С таким определением не совсем удобно работать, поскольку окрестности определяются с помощью четырех чисел . Но его можно упростить, если ввести окрестности с равноудаленными концами. То есть можно положить , . Тогда мы получим определение, которое проще использовать при доказательстве теорем. При этом оно является эквивалентным определению, в котором используются произвольные окрестности. Доказательство этого факта приводится в разделе «Эквивалентность определений предела функции по Коши» .
Тогда можно дать единое определение предела функции в конечных и бесконечно удаленных точках:
.
Здесь для конечных точек
;
;
.
Любые окрестности бесконечно удаленных точек являются проколотыми:
;
;
.
Конечные пределы функции в конечных точках
Число a называется пределом функции f(x) в точке x 0 , если1) функция определена на некоторой проколотой окрестности конечной точки ;
2) для любого существует такое , зависящее от , что для всех x , для которых , выполняется неравенство
.
С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.
Односторонние пределы.
Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
;
.
Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках
Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках.
.
.
.
Бесконечные пределы функции
Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.
Свойства и теоремы предела функции
Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей проколотой окрестности точки , которая является конечным числом или одним из символов: . Также может быть точкой одностороннего предела, то есть иметь вид или . Окрестность является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего.
Основные свойства
Если значения функции f(x) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x 1 , x 2 , x 3 , ... x n , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x 0 .
Если существует конечный предел ,
то существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
на которой функция f(x)
ограничена:
.
Пусть функция имеет в точке x 0
конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c
из интервала ,
существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
что для ,
,
если ;
,
если .
Если, на некоторой проколотой окрестности точки , - постоянная, то .
Если существуют конечные пределы и и на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то .
Если ,
и на некоторой окрестности точки
,
то .
В частности, если на некоторой окрестности точки
,
то если ,
то и ;
если ,
то и .
Если на некоторой проколотой окрестности точки x 0
:
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
,
то
.
Доказательства основных свойств приведены на странице
«Основные свойства предела функции ».
Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности точки .
И пусть существуют конечные пределы:
и .
И пусть C
- постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
,
если .
Если , то .
Доказательства арифметических свойств приведены на странице
«Арифметические свойства предела функции ».
Критерий Коши существования предела функции
Теорема
Для того, чтобы функция ,
определенная на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x 0
,
имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0
существовала такая проколотая окрестность точки x 0
,
что для любых точек и из этой окрестности, выполнялось неравенство:
.
Предел сложной функции
Теорема о пределе сложной функции
Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки .
Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
Здесь - конечные или бесконечно удаленные точки: .
Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции и он равен :
.
Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предельного .
Для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность точки ,
на которой множество значений функции не содержит точку :
.
Если функция непрерывна в точке ,
то знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции:
.
Далее приводится теорема, соответствующая этому случаю.
Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции g(x)
при x → x 0
,
и он равен t 0
:
.
Здесь точка x 0
может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f(t)
непрерывна в точке t 0
.
Тогда существует предел сложной функции f(g(x))
,
и он равен f(t 0)
:
.
Доказательства теорем приведены на странице
«Предел и непрерывность сложной функции ».
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Бесконечно малые функции
Определение
Функция называется бесконечно малой при ,
если
.
Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .
Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки , на бесконечно малую при является бесконечно малой функцией при .
Для того, чтобы функция имела конечный предел ,
необходимо и достаточно, чтобы
,
где - бесконечно малая функция при .
«Свойства бесконечно малых функций ».
Бесконечно большие функции
Определение
Функция называется бесконечно большой при ,
если
.
Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки , и бесконечно большой функции при является бесконечно большой функцией при .
Если функция является бесконечно большой при ,
а функция - ограничена, на некоторой проколотой окрестности точки ,
то
.
Если функция ,
на некоторой проколотой окрестности точки ,
удовлетворяет неравенству:
,
а функция является бесконечно малой при :
,
и (на некоторой проколотой окрестности точки ), то
.
Доказательства свойств изложены в разделе
«Свойства бесконечно больших функций ».
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями
Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.
Если функция являются бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .
Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .
Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
,
.
Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при ,
то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки ,
то этот факт можно выразить так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при ,
то пишут:
.
Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
,
,
,
.
Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства ».
Пределы монотонных функций
Определение
Функция ,
определенная на некотором множестве действительных чисел X
называется строго возрастающей
, если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Соответственно, для строго убывающей
функции выполняется неравенство:
.
Для неубывающей
:
.
Для невозрастающей
:
.
Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.
Функция называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая.
Теорема
Пусть функция не убывает на интервале ,
где .
Если она ограничена сверху числом M
:
,
то существует конечный предел .
Если не ограничена сверху, то .
Если ограничена снизу числом m
:
,
то существует конечный предел .
Если не ограничена снизу, то .
Если точки a
и b
являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.
Пусть функция не убывает на интервале ,
где .
Тогда существуют односторонние пределы в точках a
и b
:
;
.
Аналогичная теорема для невозрастающей функции.
Пусть функция не возрастает на интервале ,
где .
Тогда существуют односторонние пределы:
;
.
Доказательство теоремы изложено на странице
«Пределы монотонных функций ».
Определение функции
Функцией y = f(x) называется закон (правило), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .
Элемент x ∈
X
называют аргументом функции
или независимой переменной
.
Элемент y ∈
Y
называют значением функции
или зависимой переменной
.
Множество X
называется областью определения функции
.
Множество элементов y ∈
Y
,
которые имеют прообразы в множестве X
,
называется областью или множеством значений функции
.
Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу)
, если существует такое число M
,
что для всех выполняется неравенство:
.
Числовая функция называется ограниченной
, если существует такое число M
,
что для всех :
.
Верхней гранью
или точной верхней границей
действительной функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого превосходит s′
:
.
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.
Соответственно нижней гранью
или точной нижней границей
действительной функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого меньше чем i′
:
.
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Предел функции - число a будет пределом некоторой изменяемой величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a .
Или другими словами, число A является пределом функции y = f (x) в точке x 0 , если для всякой последовательности точек из области определения функции , не равных x 0 , и которая сходится к точке x 0 (lim x n = x0) , последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A .
График функции, предел которой при аргументе, который стремится к бесконечности, равен L :
Значение А
является пределом (предельным значением) функции
f (x)
в точке x 0
в случае, если для всякой последовательности точек 
, которая сходится к x 0
, но которая не содержит x 0
как один из своих элементов (т.е. в проколотой окрестности x 0
), последовательность значений функции 
сходится к A
.
Предел функции по Коши.
Значение A будет являться пределом функции f (x) в точке x 0 в случае, если для всякого вперёд взятого неотрицательного числа ε будет найдено соответствующее ему неотрицательно число δ = δ(ε) такое, что для каждого аргумента x , удовлетворяющего условию 0 < | x - x0 | < δ , будет выполнено неравенство | f (x) A | < ε .
Будет очень просто, если вы понимаете суть предела и основные правила нахождения его. То, что предел функции f (x) при x стремящемся к a равен A , записывается таким образом:
Причем значение, к которому стремится переменная x , может быть не только числом, но и бесконечностью (∞), иногда +∞ или -∞, либо предела может вообще не быть.
Чтоб понять, как находить пределы функции , лучше всего посмотреть примеры решения.
Необходимо найти пределы функции f (x) = 1/ x при:
x → 2, x → 0, x → ∞.
Найдем решение первого предела. Для этого можно просто подставить вместо x число, к которому оно стремится, т.е. 2, получим:
Найдем второй предел функции . Здесь подставлять в чистом виде 0 вместо x нельзя, т.к. делить на 0 нельзя. Но мы можем брать значения, приближенные к нулю, к примеру, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и так далее, причем значение функции f (x) будет увеличиваться: 100; 1000; 10000; 100000 и так далее. Т.о., можно понять, что при x → 0 значение функции, которая стоит под знаком предела, будет неограниченно возрастать, т.е. стремиться к бесконечности. А значит:
Касаемо третьего предела. Такая же ситуация, как и в прошлом случае, невозможно подставить ∞ в чистом виде. Нужно рассмотреть случай неограниченного возрастания x . Поочередно подставляем 1000; 10000; 100000 и так далее, имеем, что значение функции f (x) = 1/ x будет убывать: 0,001; 0,0001; 0,00001; и так далее, стремясь к нулю. Поэтому:
Необходимо вычислить предел функции 
Приступая к решению второго примера, видим неопределенность . Отсюда находим старшую степень числителя и знаменателя - это x 3 , выносим в числителе и знаменателе его за скобки и далее сокращаем на него:
Ответ 
Первым шагом в нахождении этого предела , подставим значение 1 вместо x , в результате чего имеем неопределенность . Для её решения разложим числитель на множители , сделаем это методом нахождения корней квадратного уравнения x 2 + 2 x - 3 :
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16 → √ D = √16 = 4
x 1,2 = (-2 ± 4) / 2 → x 1 = -3; x 2 = 1.
Таким образом, числитель будет таким:
Ответ 
Это определение его конкретного значения или определенной области, куда попадает функция, которая ограничена пределом.
Чтобы решить пределы, следуйте правилам:
Разобравшись в сути и основных правилах решения предела , вы получите базовое понятие о том, как их решать.
Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что "скучная теория" должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.
Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.
Примеры решений
| Пример 1 |
| Вычислить а) $ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} $; б)$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} $ |
| Решение |
|
а) $$ \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty $$ б)$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$ Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \text{a)} \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty \text{ б)}\lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$ |
Что делать с неопределенностью вида: $ \bigg [\frac{0}{0} \bigg ] $
| Пример 3 |
| Решить $ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} $ |
| Решение |
|
Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела. $$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(-1)^2-1}{-1+1}=\frac{0}{0} $$ Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её :) Получаем, что числитель $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование: $$ \lim \limits_{x \to -1}\frac{x^2-1}{x+1} = \lim \limits_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = $$ $$ = \lim \limits_{x \to -1}(x-1)=-1-1=-2 $$ |
| Ответ |
| $$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} = -2 $$ |
Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] $
| Пример 5 |
| Вычислить $ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} $ |
| Решение |
|
$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{\infty}{\infty} $ Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное - возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем... $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} =\lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2(1-\frac{1}{x^2})}{x(1+\frac{1}{x})} = $$ $$ = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x(1-\frac{1}{x^2})}{(1+\frac{1}{x})} = $$ Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем: $$ = \frac{\infty(1-\frac{1}{\infty})}{(1+\frac{1}{\infty})} = \frac{\infty \cdot 1}{1+0} = \frac{\infty}{1} = \infty $$ |
| Ответ |
| $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} = \infty $$ |
Алгоритм вычисления лимитов
Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:
- Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: "ноль делить на ноль" или "бесконечность делить на бесконечность" и переходим к следующим пунктам инструкции.
- Чтобы устранить неопределенность "ноль делить на ноль" нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
- Если неопределенность "бесконечность делить на бесконечность", тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.
В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.
Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!
