Рассмотрим решение примера.
Пример.
Найдите координаты любой точки прямой, заданной в пространстве уравнениями двух пересекающихся плоскостей 
.
Решение.
Перепишем систему уравнений в следующем виде
В качестве базисного минора основной матрицы системы возьмем отличный от нуля минор второго порядка 
, то есть, z
– свободная неизвестная переменная. Перенесем слагаемые, содержащие z
, в правые части уравнений: .
Примем , где - произвольное действительное число, тогда .
Решим полученную систему уравнений :
Таким образом, общее решение системы уравнений имеет вид , где .
Если взять конкретное значение параметра , то мы получим частное решение системы уравнений, которое нам дает искомые координаты точки, лежащей на заданной прямой. Возьмем , тогда 
, следовательно, - искомая точка прямой.
Можно выполнить проверку найденных координат точки, подставив их в исходые уравнения двух пересекающихся плоскостей:
Ответ:
Направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две плоскости.
В прямоугольной системе координат от прямой линии неотделим направляющий вектор прямой . Когда прямая а в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей и , то координаты направляющего вектора прямой не видны. Сейчас мы покажем, как их определять.
Мы знаем, что прямая перпендикулярна к плоскости, когда она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Тогда нормальный вектор плоскости перпендикулярен любому ненулевому вектору, лежащему в этой плоскости. Этими фактами и воспользуемся при нахождении направляющего вектора прямой.
Прямая а
лежит как в плоскости , так и в плоскости . Следовательно, направляющий вектор прямой а
перпендикулярен и нормальному вектору 
плоскости , и нормальному вектору 
плоскости . Таким образом, направляющим вектором прямой а
является и :
Множество всех направляющих векторов прямой а
мы можем задать как 
, где - параметр, принимающий любые действительные значения, отличные от нуля.
Пример.
Найдите координаты любого направляющего вектора прямой, которая задана в прямоугольной системе координат Oxyz
в трехмерном пространстве уравнениями двух пересекающихся плоскостей 
.
Решение.
Нормальными векторами плоскостей и являются векторы 
и 
соответственно. Направляющим вектором прямой, являющейся пересечением двух заданных плоскостей, примем векторное произведение нормальных векторов:
Ответ:
Переход к параметрическим и каноническим уравнениям прямой в пространстве.
Бывают случаи, в которых использование уравнений двух пересекающихся плоскостей для описания прямой не совсем удобно. Некоторые задачи проще решаются, если известны канонические уравнения прямой в пространстве вида 
или параметрические уравнения прямой в пространстве вида 
, где x 1
, y 1
, z 1
- координаты некоторой точки прямой, a x
, a y
, a z
- координаты направляющего вектора прямой, а - параметр, принимающий произвольные действительные значения. Опишем процесс перехода от уравнений прямой вида 
к каноническим и параметрическим уравнениям прямой в пространстве.
В предыдущих пунктах мы научились находить координаты некоторой точки прямой, а также координаты некоторого направляющего вектора прямой, которая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Этих данных достаточно, чтобы записать и канонические и параметрические уравнения этой прямой в прямоугольной системе координат в пространстве.
Рассмотрим решение примера, а после этого покажем еще один способ нахождения канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве.
Пример.
Решение.
Вычислим сначала координаты направляющего вектора прямой. Для этого найдем векторное произведение нормальных векторов 
и 
плоскостей 
и 
:
То есть, .
Теперь определим координаты некоторой точки заданной прямой. Для этого найдем одно из решений системы уравнений 
.
Определитель 
отличен от нуля, возьмем его в качестве базисного минора основной матрицы системы. Тогда переменная z
является свободной, переносим слагаемые с ней в правые части уравнений, и придаем переменной z
произвольное значение :
Решаем методом Крамера полученную систему уравнений:
Следовательно,
Примем , при этом получаем координаты точки прямой: 
.
Теперь мы можем записать требуемые канонические и параметрические уравнения исходной прямой в пространстве:
Ответ:
и 
Вот второй способ решения этой задачи.
При нахождении координат некоторой точки прямой мы решаем систему уравнений . В общем случае ее решения можно записать в виде .
А это как раз искомые параметрические уравнения прямой в пространстве. Если каждое из полученных уравнений разрешить относительно параметра и после этого приравнять правые части равенств, то получим канонические уравнения прямой в пространстве
Покажем решение предыдущей задачи по этому методу.
Пример.
Прямая в трехмерном пространстве задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей . Напишите канонические и параметрические уравнения этой прямой.
Решение.
Решаем данную систему из двух уравнений с тремя неизвестными (решение приведено в предыдущем примере, не будем повторяться). При этом получаем . Это и есть искомые параметрические уравнения прямой в пространстве.
Осталось получить канонические уравнения прямой в пространстве:
Полученные уравнения прямой внешне отличаются от уравнений, полученных в предыдущем примере, однако они эквивалентны, так как определяют одно и то же множество точек трехмерного пространства (а значит, одну и ту же прямую).
Ответ:
и 
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Прямая в пространстве может быть определена как линия пересечения двух непараллельных плоскостей и, то есть как множество точек, удовлетворяющих системе двух линейных уравнений
(V.5)
Справедливо
и обратное утверждение: система двух
независимых линейных уравнений вида
(V.5)
определяет прямую как линию пересечения
плоскостей (если они не параллельны).
Уравнения системы (V.5)
называются общим
уравнением
прямой
в пространстве
.
Пример V .12 . Составить каноническое уравнение прямой, заданной общими уравнениями плоскостей
Решение . Чтобы написать каноническое уравнение прямой или, что тоже самое, уравнение прямой, проходящей через две данные точки, нужно найти координаты каких-либо двух точек прямой. Ими могут служить точки пересечения прямой с какими-нибудь двумя координатными плоскостями, например Oyz и Oxz .
Точка
пересечения прямой с плоскостью Oyz
имеет абсциссу
.
Поэтому, полагая в данной системе
уравнений
,
получим систему с двумя переменными:
Ее
решение
,
вместе с
определяет точку
искомой прямой. Полагая в данной системе
уравнений
,
получим систему
решение
которой
,
вместе с
определяет точку
пересечения прямой с плоскостьюOxz
.
Теперь
запишем уравнения прямой, проходящей
через точки
и
:
или
,
где
будет направляющим векто-ром этой
прямой.
Пример
V
.13.
Прямая задана
каноническим уравнением
.
Составить общее уравнение этой прямой.
Решение. Каноническое уравнение прямой можно записать в виде системы двух независимых уравнений:
Получили
общее уравнение прямой, которая теперь
задана пересечением двух плоскостей,
одна из которых
параллельна осиOz
(
),
а другая
– осиОу
(
).
Данную прямую можно представить в виде линии пересечения двух других плоскостей, записав ее каноническое уравнение в виде другой пары независимых уравнений:
Замечание . Одна и та же прямая может быть задана различными системами двух линейных уравнений (то есть пересечением различных плоскостей, так как через одну прямую можно провести бесчисленное множество плоскостей), а также различными каноническими уравнениями (в зависимости от выбора точки на прямой и ее направляющего вектора).
Ненулевой вектор, параллельный прямой линии, будем называть ее направляющим вектором .
Пусть
в трехмерном пространстве
задана прямая l
,
проходящая через точку
,
и ее направляющий вектор
.
Любой
вектор
,
где
,
лежащий на прямой, коллинеарен с вектором
,
поэтому их координаты пропорциональны,
то есть
.
(V.6)
Это уравнение называется каноническим уравнением прямой. В частном случае, когда ﻉ есть плоскость, получаем уравнение прямой на плоскости
.
(V.7)
Пример
V
.14.
Найти уравнение прямой, проходящей
через две точки
,
.
,
где
,
,
.
Удобно уравнение (V.6) записать в параметрической форме. Так как координаты направляющих векторов параллельных прямых пропорциональны, то, полагая
,
где
t
– параметр,
.
Расстояние от точки до прямой
Рассмотри
двухмерное евклидовое пространство ﻉ
с
декартовой системой координат. Пусть
точка
ﻉ
и
l
ﻉ.
Найдем расстояние от этой точки до
прямой. Положим
,
и прямая l
задается уравнением
(рис.V.8).
Расстояние
,
вектор
,
где
– нормальный вектор прямой l
,
и
– коллинеарны, поэтому их координаты
пропорциональны, то есть
,
следовательно,
,
.
Отсюда
или умножая эти уравнения
наA
и B
соответственно и складывая их, находим
,
отсюда
.
(V.8)
определяет
расстояние от точки
до прямой
.
Пример
V
.15.
Найти уравнение прямой, проходящей
через точку
перпендикулярно прямойl
:
и найти расстояние от
до прямойl
.
Из
рис. V.8
имеем
,
а нормальный вектор прямойl
.
Из условия перпендикулярности имеем
Так
как
,
то
.
(V.9)
Это
и есть уравнение прямой, проходящей
через точку
,перпендикулярно
прямой
.
Пусть
имеем уравнение прямой (V.9),
проходящей через точку
,
перпендикулярна прямойl
:
.
Найдем расстояние от точки
до прямойl
,
используя формулу (V.8).
Для
нахождения искомого расстояния достаточно
найти уравнение прямой, проходящей
через две точки
и точку
,
лежащую на прямой в основании
перпендикуляра. Пусть
,
тогда
Так
как
,
а вектор
,
то
.
(V.11)
Поскольку
точка
лежит на прямойl
,
то имеем еще одно равенство
или
Приведем систему к виду, удобному для применения метода Крамера
Ее решение имеет вид
,
.
(V.12)
Подставляя (V.12) в (V.10), получаем исходное расстояние.
Пример
V
.16.
В двухмерном пространстве задана точка
и прямая
.
Найти расстояние от точки
до прямой; записать уравнение прямой,
проходящей через точку
перпендикулярно заданной прямой и найти
расстояние от точки
до основания перпендикуляра к исходной
прямой.
По формуле (V.8) имеем
Уравнение
прямой, содержащей перпендикуляр, найдем
как прямую, проходящую через две точки
и
,
воспользовавшись формулой (V.11).
Так как
,
то, с учетом того, что
,
а
,
имеем
.
Для
нахождения координат
имеем систему с учетом того, что точка
лежит на исходной прямой
Следовательно,
,
,
отсюда.
Рассмотрим
трехмерное евклидовое пространство ﻉ.
Пусть точка
ﻉ
и
плоскость ﻉ.
Найдем расстояние от этой точки
до плоскости,
заданной уравнением
(рис.V.9).
Аналогично
двухмерному пространству имеем
и вектор
,
а,
отсюда
.
(V.13)
Уравнение
прямой, содержащей перпендикуляр к
плоскости ,
запишем как уравнение прямой, проходящей
через две точки
и
,
лежащую в плоскости:
.
(V.14)
Для
нахождения координат точки
к двум любым равенствам формулы (V.14)
добавим уравнение
Решая
систему трех уравнений (V.14),
(V.15),
найдем
,
,
– координаты точки
.
Тогда уравнение перпендикуляра запишется
в виде
.
Для
нахождения расстояния от точки
до плоскости
вместо формулой (V.13)
воспользуемся
Канонические уравнения прямой
Постановка задачи. Найти канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей (общими уравнениями)
План решения.
Канонические уравнения прямой с направляющим вектором 
, проходящей через данную точку 
, имеют вид
. (1)
Поэтому, чтобы написать канонические уравнения прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и какую-нибудь точку на прямой.
1. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий вектор ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей, т.е. согласно определению векторного произведения, имеем
. (2)
2. Выбираем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку направляющий вектор прямой не параллелен хотя бы одной из координатных плоскостей, то прямая пересекает эту координатную плоскость. Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точка ее пересечения с этой координатной плоскостью.
3. Подставляем найденные координаты направляющего вектора и точки в канонические уравнения прямой (1).
Замечание. Если векторное произведение (2) равно нулю, то плоскости не пересекаются (параллельны) и записать канонические уравнения прямой не представляется возможным.
Задача 12. Написать канонические уравнения прямой.
Канонические уравнения прямой:
,
где 
– координаты какой-либо точки прямой, 
– ее направляющий вектор.
Найдем какую-либо точку прямой 
. Пусть , тогда
Следовательно, 
– координаты точки, принадлежащей прямой.
УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ
Рассмотрим две плоскости α 1 и α 2 , заданные соответственно уравнениями:
Под углом
между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных
этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α 1
и α 2 равен одному из указанных смежных двугранных углов или 
. Поэтому 
. Т.к.
и 
, то
.
Пример. Определить угол между плоскостями x +2y -3z +4=0 и 2x +3y +z +8=0.
Условие параллельности двух плоскостей.
Две плоскости α 1 и α 2
параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит 
.
Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:
или
Условие перпендикулярности плоскостей.
Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .
Таким образом, .
Примеры.
ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.
ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ
Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М 1 и вектора , параллельного этой прямой.
Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.
Итак, пусть прямая l проходит через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1), лежащую на прямой параллельно вектору .
Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z)
на прямой. Из рисунка видно, что 
.
Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t , что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М 1 и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М , лежащей на прямой.
Запишем это уравнение в координатной форме.
Заметим, что ,
и отсюда
Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.
При изменении параметра t изменяются координаты x , y и z и точка М перемещается по прямой.
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ
Пусть М
1 (x
1 , y
1 , z
1) – точка,
лежащая на прямой l
, и 
–
её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z)
и рассмотрим вектор .
Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,
– канонические
уравнения прямой.
Замечание 1.
Заметим, что канонические
уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t
. Действительно, из параметрических уравнений получаем 
или .
Пример.
Записать уравнение прямой 
в параметрическом виде.
Обозначим 
,
отсюда x
= 2 + 3t
, y
= –1 + 2t
, z
= 1 –t
.
Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox . Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox , следовательно, m =0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид
Исключая из уравнений параметр t , получим уравнения прямой в виде
Однако и в этом случае условимся формально
записывать канонические уравнения прямой в виде
.
Таким образом, еслив знаменателе одной
из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая
перпендикулярна соответствующей координатной оси.
Аналогично, каноническим уравнениям 
соответствует прямая перпендикулярная осям Ox
и Oy
или параллельная оси Oz
.
Примеры.
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.
Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями
определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.
Примеры.
Построить прямую, заданную уравнениями 
Для построения прямой достаточно найти любые две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Например, точку пересечения с плоскостью xOy получим из уравнений прямой, полагая z = 0:
Решив эту систему, найдем точку M 1 (1;2;0).
Аналогично, полагая y = 0, получим точку пересечения прямой с плоскостью xOz :
От общих уравнений прямой можно перейтик её каноническим или параметрическим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку М 1 на прямой и направляющий вектор прямой.
Координаты точки
М
1
получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания
направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к
обоим нормальным векторам 
и 
.
Поэтому за направляющий вектор прямой l
можно взять векторное произведение нормальных векторов:
.
Пример.
Привести общие уравнения прямой
к каноническому виду.
Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, y = 0 и решим систему уравнений:
Нормальные векторы
плоскостей, определяющих прямую имеют координаты 
Поэтому направляющий вектор
прямой будет
.
Следовательно, l
: 
.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ
Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.
Пусть в пространстве заданы две прямые:
Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим
В задаче необходимо найти линию пересечения двух плоскостей и определить натуральную величину одной из них методом плоскопараллельного перемещения.
Для решения такой классической задачи по начертательной геометрии необходимо знать следующий теоретический материал:
— нанесение проекций точек пространства на комплексный чертеж по заданным координатам;
— способы задания плоскости на комплексном чертеже, плоскости общего и частного положения;
— главные линии плоскости;
— определение точки пересечения прямой линии с плоскостью (нахождение «точки встречи» );
— метод плоскопараллельного перемещения для определения натуральной величины плоской фигуры;
— определение видимости на чертеже прямых линий и плоскостей с помощью конкурирующих точек.
Порядок решения Задачи
1. Согласно варианту Задания по координатам точек наносим на комплексный чертеж две плоскости, заданные в виде треугольников ABC (A’, B’, C’; A, B, C) и DKE (D’, K’, E’; D, K, Е) (рис.1.1 ).
Рис.1.1
2 . Для нахождения линии пересечения воспользуемся методом проецирующей плоскости . Суть его в том, что берется одна сторона (линия) первой плоскости (треугольника) и заключается в проецирующую плоскость. Определяется точка пересечения этой линии с плоскостью второго треугольника. Повторив эту задачу еще раз, но для прямой второго треугольника и плоскости первого треугольника, определим вторую точку пересечения. Так как полученные точки одновременно принадлежат обеим плоскостям, они должны находиться на линии пересечения этих плоскостей. Соединив эти точки прямой, будем иметь искомую линию пересечения плоскостей.
3. Задача решается следующим образом:
а) заключаем в проецирующую плоскость Ф(Ф’) сторону AB (A ’ B ’) первого треугольника во фронтальной плоскости проекций V . Отмечаем точки пересечения проецирующей плоскости со сторонами DK и DE второго треугольника, получая точки 1(1’) и 2 (2’) . Переносим их по линиям связи на горизонтальную плоскость проекций H на соответствующие стороны треугольника, точка 1 (1) на стороне DE и точка 2(2) на стороне DK .
Рис.1.2
б) соединив проекции точек 1 и 2 , будем иметь проекцию проецирующей плоскости Ф . Тогда точка пересечения прямой АВ с плоскостью треугольника DKE определится (согласно правилу) вместе пересечения проекции проецирующей плоскости 1-2 и одноименной проекции прямой AB . Таким образом, получили горизонтальную проекцию первой точки пересечения плоскостей – M , по которой определяем (проецируем по линиям связи) её фронтальную проекцию – M ’ на прямой A ’ B ’ (рис.1.2.а );
в) аналогичным путем находим вторую точку. Заключаем в проецирующую плоскость Г(Г) сторону второго треугольника DK (DK ) . Отмечаем точки пересечения проецирующей плоскости со сторонами первого треугольника AC и BC во горизонтальной проекции, получая проекции точек 3 и 4 . Проецируем их на соответствующие стороны в фронтальной плоскости, получаем 3’ и 4’ . Соединив их прямой, имеем проекцию проецирующей плоскости. Тогда вторая точка пересечения плоскостей будет в месте пересечения линии 3’-4’ со стороной треугольника D ’ K ’ , которую заключали в проецирующую плоскость. Таким образом, получили фронтальную проекцию второй точки пересечения – N ’ , по линии связи находим горизонтальную проекцию – N (рис.1.2.б ).
г) соединив полученные точки MN (MN ) и (M ’ N ’) на горизонтальной и фронтальной плоскостях, имеем искомую линию пересечения заданных плоскостей.
4. С помощью конкурирующих точек определяем видимость плоскостей. Возьмем пару конкурирующих точек, например, 1’=5’ во фронтальной проекции. Спроецируем их на соответствующие стороны в горизонтальную плоскость, получим 1 и 5 . Видим, что точка 1 , лежащая на стороне D Е имеет большую координату до оси x , чем точка 5 , лежащая на стороне A В . Следовательно, согласно правилу, большей координаты, точка 1 и сторона треугольника D ’Е ’ во фронтальной плоскости будут видимые. Таким образом, определяется видимость каждой стороны треугольника в горизонтальной и фронтальной плоскостях. Видимые линии на чертежах проводятся сплошной контурной линией, а не видимые — штриховой линией. Напомним, что в точках пересечения плоскостей (M — N и M ’- N ’ ) будет происходить смена видимости.
Рис.1.3
Р ис.1. 4 .
На эпюре дополнительно показано определение видимости в горизонтальной плоскости с использованием конкурирующих точек 3 и 6 на прямых DK и АВ .
5. Методом плоскопараллельного перемещения определяем натуральную величину плоскости треугольника ABC , для чего:
а) в указанной плоскости через точку С(С) проводим фронталь C — F (С- F и C ’- F ’) ;
б) на свободном поле чертежа во горизонтальной проекции берем (отмечаем) произвольную точку С 1 , считая, что это одна из вершин треугольника (конкретно вершина C ). Из нее восстанавливаем перпендикуляр к фронтальной плоскости (через ось х );
Рис.1.5
в) плоскопараллельным перемещением переводим горизонтальную проекцию треугольника ABC , в новое положение A 1 B 1 C 1 таким образом, чтобы в фронтальной проекции он занял проецирующее положение (преобразовался в прямую линию). Для этого: на перпендикуляре от точки С 1 , откладываем фронтальную проекцию горизонтали C 1 — F 1 (длина l CF ) получаем точку F 1 . Раствором циркуля из точки F 1 величиною F-A делаем дуговую засечку, а из точки C 1 — засечку величиной CA , тогда в пересечении дуговых линий получаем точку A 1 (вторая вершина треугольника);
— аналогично получаем точку B 1 (из точки C 1 делаем засечку величиной C — B (57мм), а из точки F 1 величиной F — B (90мм).Заметим, что при правильном решении три точки A 1 F ’ 1 и B ’ 1 должны лежать на одной прямой (сторона треугольника A 1 — B 1 )две другие стороны С 1 — A 1 и C 1 — B 1 получаются путем соединения их вершин;
г) из метода вращения следует, что при перемещении или вращении точки в какой-то плоскости проекций — на сопряженной плоскости проекция этой точки должна двигаться по прямой линии, в нашем конкретном случае по прямой параллельной оси х . Тогда проводим из точек A ’ B ’ C ’ фронтальной проекции эти прямые (их называют плоскостями вращения точек), а из фронтальных проекций перемещенных точек A 1 В 1 C 1 восстановим перпендикуляры (линии связи) (рис.1.6 ).
Рис.1.6
Пересечения указанных линий с соответствующими перпендикулярами дает новые положения фронтальной проекции треугольника ABC , конкретно A ’ 1 В’ 1 C ’ 1 который должен стать проецирующим (прямой линией), поскольку горизонталь h 1 мы провели перпендикулярно фронтальной плоскости проекций (рис.1.6 );
5) тогда для получения натуральной величины треугольника достаточно его фронтальную проекцию развернуть до параллельности с горизонтальной плоскостью. Разворот осуществляем с помощью циркуля через точку А’ 1 , считая ее как центр вращения, ставим треугольник A ’ 1 В’ 1 C ’ 1 параллельно оси х , получаем A ’ 2 В’ 2 C ’ 2 . Как было сказано выше, при вращении точки, на сопряженной (теперь на горизонтальной) проекции они двигаются по прямым параллельным оси х . Опуская перпендикуляры (линии связи) из фронтальных проекций точек A ’ 2 В’ 2 C ’ 2 пересечения их с соответствующими линиями находим горизонтальную проекцию треугольника ABC (A 2 В 2 C 2 ) в натуральную величину (рис.1.7 ).
Рис. 1.7
У меня есть все готовые решения задач с такими координатами, купить можно
Цена 55 руб
, чертежи по начертательной геометрии из книжки Фролова Вы легко можете скачать сразу после оплаты или я вышлю Вам на почту. Они находятся в ZIP архиве в различных форматах:
*.jpg
– обычный цветной рисунок чертежа в масштабе 1 к 1 в хорошем разрешении 300 dpi;
*.cdw
– формат программы Компас 12 и выше или версии LT;
*.dwg и.dxf
— формат программы AUTOCAD, nanoCAD;
